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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7. Halle el área de la región comprendida entre los gráficos de $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$ y $g(x)=\frac{x}{x+7}$.
Respuesta
Por suerte volvimos a la normalidad con únicamente dos funciones 😅
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Arrancamos buscando los puntos de intersección entre ambas, las igualamos y despejamos:
$ \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{x}{x + 7} $
Para despejar, empezamos pasando multiplicando ambos denominadores:
$ x(x + 7) = x(x^2 + 1) $
$ x^2 + 7x = x^3 + x $
Llevamos todo para un mismo lado:
$ 0 = x^3 - x^2 + x - 7x $
$ 0 = x^3 - x^2 - 6x $
Sacamos factor común $x$
$ 0 = x(x^2 - x - 6) $
Igualamos cada factor a cero, y las soluciones de esta ecuación son \( x = 0 \), \( x = 3 \), y \( x = -2 \).
Ahora, en los intervalos que nos quedaron delimitados, nos fijamos quién es techo y quién es piso:
En el intervalo $(-2,0)$ -> $g$ es techo y $f$ es piso
En el intervalo $(0,3)$ -> $f$ es techo y $g$ es piso
Con esta información nos armamos ahora las integrales del área:
$ A = \int_{-2}^{0} \left( \frac{x}{x + 7} - \frac{x}{x^2 + 1} \right) \, dx + \int_{0}^{3} \left( \frac{x}{x^2 + 1} - \frac{x}{x + 7} \right) \, dx $
$ A = \int_{-2}^{0} \frac{x}{x + 7} \, dx - \int_{-2}^{0} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx + \int_{0}^{3} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx - \int_{0}^{3} \frac{x}{x + 7} \, dx $
Ahora, identificamos que, para resolver estas integrales definidas, necesitamos encontrar las primitivas de:
$\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx$
y de
$\int \frac{x}{x + 7} \, dx$
Resolvemos estas integrales indefinidas en un cálculo auxiliar. Una vez que tengamos las primitivas, ya podemos aplicar los Barrow:
Cálculo auxiliar 1:
$\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx$
Para resolver esta integral usamos sustitución:
$u = x^2 + 1$
$du = 2x \, dx \Rightarrow x \, dx = \frac{du}{2}$
$
\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C $
Con esta primitiva ya podemos calcular las dos integrales definidas que nos aparecían ahí, usando Barrow:
$\int_{-2}^{0} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \Big|_{-2}^{0} = -\frac{1}{2} \ln(5)$
$
\int_{0}^{3} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \Big|_{0}^{3} = \frac{1}{2} \ln(10)
$
Cálculo auxiliar 2:
$\int \frac{x}{x + 7} \, dx$
Una integral así resolvimos en la clase "La integral de área de mi parcial" jaja, es la última clase de la seguidilla de ejercicios de cálculo de áreas. Vamos a resolver esta integral con los mismos razonamientos que charlamos ahí:
Tomamos la sustitución
$u = x + 7$
$du = dx$
Además, así como definimos $u$ podemos escribir $x = u - 7$
Escribimos la integral en términos de $u$
$
\int \frac{x}{x + 7} \, dx = \int \frac{u - 7}{u} \, du = \int \left( \frac{u}{u} - \frac{7}{u} \right) \, du = \int \left( 1 - \frac{7}{u} \right) \, du = u -7 \ln|u| + C = (x + 7) - 7 \ln|x + 7| + C$
Con esta primitiva ya podemos calcular las dos integrales definidas que nos aparecían ahí, usando Barrow:
$
\int_{-2}^{0} \frac{x}{x + 7} \, dx = (x + 7) - 7 \ln(x + 7) \Big|_{-2}^{0} = 2 + 7 \ln(5) - 7\ln(7)
$
$
\int_{0}^{3} \frac{x}{x + 7} \, dx = (x + 7) - 7 \ln(x + 7) \Big|_{0}^{3} = 3 + 7 \ln(7) - 7\ln(10)
$
Volvemos ahora a nuestra integral del área y reemplazamos todos los resultados obtenidos:
$ A = \int_{-2}^{0} \frac{x}{x + 7} \, dx - \int_{-2}^{0} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx + \int_{0}^{3} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx - \int_{0}^{3} \frac{x}{x + 7} \, dx $
$
A = \left( 2 + 7 \ln(5) - 7 \ln(7) \right) - \left( -\frac{1}{2} \ln(5) \right) + \left( \frac{1}{2} \ln(10) \right) - \left( 3 + 7 \ln(7) - 7 \ln(10) \right)
$
Listo, este es el resultado. Podrías si queres reacomodarlo un poco, para hacerlo más compacto, pero todos esos son números, si vos pusieras todo este choclo en la calculadora te da un número. Si venis bien de tiempo en el parcial, yo lo pondría en la calculadora sólo para chequear que sea positivo, pero ya está, el resultado es este :)